一个人有6张卡片，上面的记号分别是

　　△ △ □ ☆ ☆ ○

　　他去交换卡片，希望卡片的张数越少越好。换卡后，他身边还有几张卡片？上面是些什么图形？

　　借用数学符号，可以将换卡过程表示如下。

　　（△+△）+□+（☆+☆）＋○=□+□+○+○

　　=☆+◎。

　　由此可见，换卡后还剩两张卡片，上面的图形分别是☆和◎。

　　这题目很简单，一会儿就把卡片换好了。但是这题目又不简单，因为它后面有背景。

　　实际上，这个“两张换一张”的卡片问题，是以二进位制为背景的。

　　要使总的卡片张数最少，每种卡片留下的张数只能是0或1，相当于在二进位制里只用两个数字0和1。

　　每两张同一种的卡片换一张高一级的卡片，相当于二进位制里同一位上的两个单位合并起来向上面一位进1，“逢二进一”。

　　本题中每一张带有符号的卡片，相当于一个二进位制的数，对应关系如下：

　　△=1，

　　□=10，

　　☆=100，

　　○=1000，

　　◎=10000。

　　原来的卡片，有两张△，一张□，两张☆和一张○，可以用二进位制求它们的总和，得到

　　（1+1）＋10＋（100＋100）＋1000=10+10＋1000＋1000

　　=100＋10000

　　=10100。

　　最后，将卡片记号排名榜和二进位制答数对照：

　　◎ ○ ☆ □ △

　　1 0 1 0 0

　　在◎和☆的位置上是数字1，其他位置上都是0。由此可见，换卡片的结果，最后保留1张◎卡和1张☆卡。

　　在生活中，很多场合都只有两种状态换来换去，例如灯泡的亮和熄，风扇叶的转和停，门铃的叮咚和寂静，都是由一个开关控制，有电送过去就工作，没有电送过去就休息。

　　在数学上，可以用二进位制的数字1和0分别表示有和无，二进位制数的每一位相当于一个转换有无的开关。所以二进位制可以在很多地方施展身手。特别是电子计算机，在那里面，二进位制可算是大显神通了。